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哲理

「高思」將數學發展成一門融會貫通許多學問的管道，幫助孩子建立解決問題，甚至尋求人生答案的能力，孩子在成形自己思考能力的時候，第一次，內心極為快樂，第二次，信心也出來了，生命價值也受到自己的肯定了！而這樣的啟蒙過程，蘊含了許多哲理：

一、 全腦式數學全方位思維：

數學思維研究可以從不同角度入手。我們選擇的角度是考察數學思維與大腦兩半球功能的關係。

根據現代神經生理學的研究結果, 人們知道大腦兩半球具有不同功能。左半球主要擔負抽象思維和邏輯推理的任務, 右半球主要擔負形象思維和審美的任務。左、右半球在生理機制上互相聯繫, 互相促進。

一個半球的發展明顯有助於另一個半球機能的改善。

過去人們常常強調數學思維的抽象性和邏輯性,這是同左半球的思維功能相聯繫的, 有人甚至稱大腦左半球為“數學半球”。

然而, 數學思維同時還具有“實驗、猜測、想像、直覺、美感”等特點, 這是同右半球的思維功能相聯繫的。數學中的探索性和創造性思維在很大程度取決於右半球潛能的開發。而這是以往數學教育中常常忽視的。

現在人們越來越多地討論已往數學教學的某些弊端, 如過份強調死記硬背大量的規則, 做大量的經驗性練習,忽視思想內容和能力訓練, 等等。應該說, 這些弊端的產生主要是過於強調大腦左半球的思維功能, 或者說“左腦思維”, 而相應地忽視了“右腦思維”的結果。

近年來這種情況有所變化。

討論“猜測、想像、直覺”等右腦思維功能的著述逐漸多了起來。

但同時出現另一種偏向, 即認為數學中的創造性思維就是“猜測、想像、直覺”等思維形式, 甚至過份誇大數學中右腦思維作用, 以為單純開發右腦就會導致數學教育水平的提高。

我們認為, 無論單純強調左腦思維還是單純強調右腦思維,都是片面的, 不正確的。

大腦兩半球是相互聯繫的有機整體, 同樣, 數學中左腦思維和右腦思維也是相互聯繫的有機整體。它們只有處於相互促進而不是相互抑制的狀態中, 才有可能充分發揮大腦的整體功能, 從整體上提高數學思維能力, 進而提高數學教育水平。

數學中的左腦思維和右腦思維都有其限度, 都不能單獨完成所有數學認識和實踐活動。

數學左腦思維的限度是, 它只在抽象領域、邏輯領域和數學符號語言所及的領域裡通行無阻, 但無法處理形象領域裡的、非邏輯的以及尚不能明確用符號語言表達, 而只能依賴直覺處理的問題。

與此相應,數學右腦思維的限度是, 它只能做左腦思維做不到的那些事情, 與左腦思維形成互補的關係。運用思維科學和心理學的術語來說, 數學左腦思維是一種“收斂思維”, 而右腦思維是一種“發散思維”。

收斂思維注重一絲不苟的邏輯分析和論證。無論多麼龐雜的現象或素材, 最終都被壓縮在簡潔明瞭的邏輯框架裡。發散思維則強調海闊天空自由創造, 由此及彼浮想聯翩。數學創造往往開始於不嚴格的發散思維, 而繼之以嚴格的邏輯分析思維, 即收斂思維。因此, 真正具有數學創造力的科研工作者, 必定是既善於嚴格思維又善於不嚴格思維的人。

而談到了數學形象思維的層次性, 即把數學形象思維分為幾何思維(以各種平面和空間圖形為研究對象的最直接的形象思維)、類幾何思維(可以借助幾何空間關係進行想像的較為間接的形象思維, 如關於非歐幾何、高維空間、泛函空間等空間關係的思維)、數覺(對各種數量關係的形象化的感覺)、數學觀念的直覺(對各種數學觀念的性質、相互聯繫以及重新組合過程的形象化感覺)。

所以我們認為,，所謂數學直覺的層次性, 指的是人們獲得數學直覺的能力存在層次上的差異。

這是由數學認識活動中主體和客體兩方面來決定的。從認識主體方面來看, 由於數學直覺產生於已有的經驗和知識素材, 而經驗有深度和廣度上的差別, 所以對於同一數學對象, 不同的人可以獲得不同層次的直覺。事實上, 中學生的數學直覺層次顯然低於大學生和研究生的數學直覺層次, 而有經驗的數學家可以通過直覺思維發現尋常人們看不到的東西。

從認識客體方面來看, 由於數學抽象物有層次之分, 對不同層次的數學抽象物的認識可獲得不同層次的數學直覺。數學直覺層次性的兩個方面是互相聯繫的。認識主體的數學直覺能力層次, 要根據認識客體的抽象程度加以衡量。而對數學認識客體抽象程度的理解, 取決於主客體不斷的相互作用。

以往數學教育中比較注意計算和應用, 而對邏輯思維和創造能力的培養不甚注意。換言之, 數學與左腦思維和右腦的關係都未能得到深入研究，更不能提供「高思」所特有的「全腦式數學全方位思維」。

他們熱衷於就數學鑽數學, 把數學單純當做一種技術性活動而不是當做一種文化形態來對待, 因而他們只是按常規要求和方法去“做”數學, 卻不願考慮數學與現實生活其他方面的有機聯繫。其結果, 使他們不自覺地加倍使用左腦思維, 特別是其中能行性的、可程序化的部分, 卻忽視了自覺保持左腦思維和右腦思維的平衡發展及相互作用。

在數學史上, 最優秀的數學家可以說都是思想家, 而不是只會“做”數學的能工巧匠。這些人學識淵博、興趣廣泛、見解深刻、能力超群。笛卡兒、萊布尼茨、龐卡來、羅素既是一流的數學家, 又是一流的哲學家。希爾伯特、愛因斯坦、馮· 諾伊曼等人在數學、物理和音樂方面都達到了精湛的水平。達· 芬奇既是數學家, 又創造出“蒙娜麗莎”這樣的傳世之作。

無數事例表明, 數學工作者的知識和才能必須全面發展, 才能使左右腦的配合達到較高水平, 獲得創造性的數學發現。那些只是不自覺地加倍使用左腦思維的人, 都希望獲得龐卡萊、希爾伯特那樣舉世矚目的成就, 為此不停奮鬥, 卻成效很少, 這正是由於沒有意識到思維結構和方法上的差距的緣故。

當然，這並不是說東方傳統文化對數學思維能力的培養毫無裨益。其實，數學右腦思維中的猜測、想像、直覺等形式，與東方傳統思維方式有很多相通之處, 值得仔細探究。

中國的數學水平在歷史上曾一度居領先地位,產生了很多傑出理論成果和高超算法, 它們大都是經驗總結和直覺的結果。

印度數學家拉瑪努賈(S.Ramanujan) 依靠自學掌握了相當專門的數學知識，並且憑藉數學直覺猜出了一些相當重要的數論定理；他的卓越才能和獨特思維方式令人嘆服。

應該看到, 東方傳統文化影響下的人們, 在猜測、想像、直覺方面有著根深蒂固的習慣和本能的優勢, 可惜這些方面的思維活動過去與數學聯繫比較少, 因而在培養數學思維能力方面並無明顯的作用。然而潛力是存在的, 是值得大力開發的。

今後的數學思維研究, 應抓住這一課題。

它對數學哲學的研究和數學教育的革新, 都具有十分重要的意義，而「高思活化數學」正是幫助小孩從小培養抓住這思維最重要的訓練課程。「高思」全面發展的原則, 即全面進行思維訓練, 全面提高數學思維活動的水平，使數學思維品質、思維能力、思維方法各方面發展相互促進、相互滲透，從而達到全面發展智力，提高教學質量之目的。

在選擇數學思維的訓練素材時，要考慮到不同方面、不同角度思維訓練的需要，在不同問題上要有所側重。比如，有些數學題材比較適合訓練思維的靈活性，有些題材比較適合訓練抽象思維能力，有些題材更適合訓練化歸方法或模型方法的使用等。但這並不等於說，解決此類問題時不涉及其它的數學思維品質、能力和方法。一般說來，具有一定綜合性質的數學題材都可能涉及數學思維的各主要方面，都適於進行全面的思維訓練。在思維訓練初期, 注重不同方面、不同角度的專門訓練是必要的。

但有了一定的基礎之後, 就應強調全面發展的原則,使各方面的專門訓練相互促進, 相得益彰。